関数 $y = x^{\log x}$ (ただし、$x > 0$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\log x}$ (ただし、$x > 0$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log(x^{\log x}) = (\log x) (\log x) = (\log x)^2$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使うと、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

となります。右辺は合成関数の微分を使うと、

$2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

となります。したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x}$

$y = x^{\log x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x}$