関数 $y = x^{\log x}$ (ただし、$x > 0$) を微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\log x}$ (ただし、$x > 0$) を微分しなさい。

2. 解き方の手順

この関数は、$x$ の関数で累乗されているため、両辺の対数を取ってから微分すると計算が楽になります。

ステップ1: 両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log (x^{\log x})$

ステップ2: 対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を使って式を整理します。

$\log y = (\log x) \cdot (\log x) = (\log x)^2$

ステップ3: 両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分になります。

$\frac{d}{dx} (\log y) = \frac{d}{dx} ((\log x)^2)$

ステップ4: 左辺は $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。右辺は連鎖律 (chain rule) を使って微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

ステップ5: $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x}$

ステップ6: $y = x^{\log x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

ステップ7: 指数の法則を使って、式を整理します。

$\frac{dy}{dx} = 2x^{\log x - 1} \log x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x^{\log x - 1} \log x$