$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 8$ を因数分解します。$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ なので、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ となります。

したがって、

$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

$x \neq 2$ のとき、$x - 2 \neq 0$ なので、$x - 2$ で約分できます。

$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4)$

$x^2 + 2x + 4$ は連続関数なので、$x$ に 2 を代入して極限値を求めることができます。

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

3. 最終的な答え

12