問題は、次の極限を求めることです。 $\lim_{h\to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h}$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

$\lim_{h\to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h}$

2. 解き方の手順

この極限は、$f(x)=x^3$ の $x=2x$ における微分係数の定義そのものです。

つまり、

$\lim_{h\to 0} \frac{f(2x+h) - f(2x)}{h} = f'(2x)$

です。

$f(x) = x^3$ の導関数は $f'(x) = 3x^2$ なので、

$f'(2x) = 3(2x)^2 = 3(4x^2) = 12x^2$

となります。

別解として、$(2x+h)^3$を展開して計算することもできます。

$(2x+h)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 h + 3(2x) h^2 + h^3 = 8x^3 + 12x^2 h + 6xh^2 + h^3$

よって、

$\frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h} = \frac{8x^3 + 12x^2 h + 6xh^2 + h^3 - 8x^3}{h} = \frac{12x^2 h + 6xh^2 + h^3}{h} = 12x^2 + 6xh + h^2$

したがって、

$\lim_{h\to 0} \frac{(2x+h)^3 - (2x)^3}{h} = \lim_{h\to 0} (12x^2 + 6xh + h^2) = 12x^2 + 6x(0) + (0)^2 = 12x^2$

3. 最終的な答え

$12x^2$