以下の関数を微分してください。(1)から(4)では $x > 0$ とします。 (1) $y = x^{\sin x}$ (2) $y = x^x$ (3) $y = x^{\log x}$ (4) $y = x^{\frac{1}{x}}$ (5) $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) (6) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

はい、承知いたしました。それでは問題 (1) から (6) を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の関数を微分してください。(1)から(4)では $x > 0$ とします。

(1) $y = x^{\sin x}$

(2) $y = x^x$

(3) $y = x^{\log x}$

(4) $y = x^{\frac{1}{x}}$

(5) $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$)

(6) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

2. 解き方の手順

対数微分法を用いて解きます。

(1) $y = x^{\sin x}$

両辺の対数をとると、

$\log y = \sin x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $y = x^x$

両辺の対数をとると、

$\log y = x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1)$

$\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(3) $y = x^{\log x}$

両辺の対数をとると、

$\log y = \log x \log x = (\log x)^2$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y = x^{\frac{1}{x}}$

両辺の対数をとると、

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \frac{1 - \log x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$

(5) $y = (\sin x)^x$

両辺の対数をとると、

$\log y = x \log (\sin x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \log (\sin x) + x \cot x$

$\frac{dy}{dx} = y (\log (\sin x) + x \cot x)$

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $y = (\log x)^x$

両辺の対数をとると、

$\log y = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log (\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(3) $\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \frac{2 \log x}{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$