全ての実数 $x$ について $f(x) = x + 2\int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

全ての実数 $x$ について $f(x) = x + 2\int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を以下のように書きます。

$f(x) = x + 2\int_{0}^{1} f(t) dt$

ここで、$\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、$k = \int_{0}^{1} f(t) dt$ とおきます。すると、

$f(x) = x + 2k$

この $f(x)$ を $k$ の定義に代入します。

$k = \int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (t + 2k) dt$

積分を実行します。

$k = \left[ \frac{1}{2}t^2 + 2kt \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + 2k$

この式を $k$ について解きます。

$k - 2k = \frac{1}{2}$

$-k = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$

$k$ の値を $f(x) = x + 2k$ に代入します。

$f(x) = x + 2\left(-\frac{1}{2}\right)$

$f(x) = x - 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = x - 1$