平面上の点Qの座標が $x = 3\cos t + \cos 3t$、 $y = 3\sin t - \sin 3t$ で与えられている。$t$ が $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で変化するとき、点Qが描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

平面上の点Qの座標が $x = 3\cos t + \cos 3t$、 $y = 3\sin t - \sin 3t$ で与えられている。$t$ が $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で変化するとき、点Qが描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さを求めるには、まず $x$ と $y$ を $t$ で微分する。

$x'(t) = -3\sin t - 3\sin 3t$

$y'(t) = 3\cos t - 3\cos 3t$

次に、$(x'(t))^2 + (y'(t))^2$ を計算する。

$(x'(t))^2 = (-3\sin t - 3\sin 3t)^2 = 9\sin^2 t + 18\sin t \sin 3t + 9\sin^2 3t$

$(y'(t))^2 = (3\cos t - 3\cos 3t)^2 = 9\cos^2 t - 18\cos t \cos 3t + 9\cos^2 3t$

$(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 9(\sin^2 3t + \cos^2 3t) + 18(\sin t \sin 3t - \cos t \cos 3t)$

$= 9 + 9 - 18\cos(3t+t) = 18 - 18\cos(4t) = 18(1-\cos(4t)) = 18(2\sin^2(2t)) = 36\sin^2(2t)$

曲線の長さ $L$ は次の積分で求められる。

$L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_0^{\pi/2} \sqrt{36\sin^2(2t)} dt = \int_0^{\pi/2} 6|\sin(2t)| dt$

区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ において $0 \leq 2t \leq \pi$ なので $\sin(2t) \geq 0$。

$L = \int_0^{\pi/2} 6\sin(2t) dt = 6 \int_0^{\pi/2} \sin(2t) dt = 6 \left[ -\frac{1}{2}\cos(2t) \right]_0^{\pi/2} = 6 \left( -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{1}{2}\cos(0) \right) = 6 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 6$

3. 最終的な答え

曲線の長さは6である。