正の整数 $n$ に対し、$z_1 = 3$、$z_{n+1} = \sqrt{3}iz_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義される複素数列 $\{z_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) $z_n$ の一般項を求める。 (2) $z_n$ が表す複素平面上の点を $P_n$ とするとき、線分 $P_nP_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表す。 (3) $\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の大きさを $\theta$ とするとき、$\theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \pi$ とする。 (4) 3点 $P_n, P_{n+1}, P_{n+2}$ を頂点とする三角形の面積を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対し、$z_1 = 3$、$z_{n+1} = \sqrt{3}iz_n - 2\sqrt{3}i + 2$ で定義される複素数列 $\{z_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) $z_n$ の一般項を求める。

(2) $z_n$ が表す複素平面上の点を $P_n$ とするとき、線分 $P_nP_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表す。

(3) $\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の大きさを $\theta$ とするとき、$\theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \pi$ とする。

(4) 3点 $P_n, P_{n+1}, P_{n+2}$ を頂点とする三角形の面積を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $z_{n+1} = \sqrt{3}iz_n - 2\sqrt{3}i + 2$ を変形する。

$z_{n+1} - \alpha = \sqrt{3}i(z_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$\alpha = \sqrt{3}i\alpha - 2\sqrt{3}i + 2$ を解くと、$\alpha = \frac{2\sqrt{3}i - 2}{\sqrt{3}i - 1} = \frac{2\sqrt{3}i - 2}{\sqrt{3}i - 1} \cdot \frac{-\sqrt{3}i - 1}{-\sqrt{3}i - 1} = \frac{-6i-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i+2}{3+1} = \frac{2 - 6i}{4} = \frac{1-3i}{2}$.

したがって、$z_{n+1} - \frac{1-3i}{2} = \sqrt{3}i(z_n - \frac{1-3i}{2})$ となる。

$w_n = z_n - \frac{1-3i}{2}$ とおくと、$w_{n+1} = \sqrt{3}iw_n$、$w_1 = z_1 - \frac{1-3i}{2} = 3 - \frac{1-3i}{2} = \frac{5+3i}{2}$.

したがって、$w_n = (\sqrt{3}i)^{n-1}w_1 = (\sqrt{3}i)^{n-1}\frac{5+3i}{2}$。

$z_n = w_n + \frac{1-3i}{2} = (\sqrt{3}i)^{n-1}\frac{5+3i}{2} + \frac{1-3i}{2}$.

(2) $|z_{n+1} - z_n| = |\sqrt{3}i(z_n - \frac{1-3i}{2}) - z_n| = |\sqrt{3}i z_n - \frac{\sqrt{3}i(1-3i)}{2} - z_n| = |(\sqrt{3}i-1)z_n + \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}i}{2}|$.

$P_nP_{n+1} = |z_{n+1} - z_n| = |\sqrt{3}iz_n - 2\sqrt{3}i + 2 - z_n| = |(\sqrt{3}i-1)z_n - 2\sqrt{3}i + 2|$.

$P_nP_{n+1} = |z_{n+1} - z_n| = |\sqrt{3}iw_n| = \sqrt{3}|w_n| = \sqrt{3}|(\sqrt{3}i)^{n-1}\frac{5+3i}{2}| = \sqrt{3}(\sqrt{3})^{n-1}|\frac{5+3i}{2}| = (\sqrt{3})^n \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{3}^{n-1} \sqrt{\frac{3\cdot 34}{4}} = \sqrt{3}^{n-1}\frac{\sqrt{102}}{2}$.

$z_{n+1} - z_n = (\sqrt{3}i)(z_n - \frac{1-3i}{2}) - (z_n - \frac{1-3i}{2}) - (\frac{1-3i}{2}) + \frac{1-3i}{2}= (\sqrt{3}i - 1)(z_n - \frac{1-3i}{2}) = (\sqrt{3}i - 1) w_n = (\sqrt{3}i-1) (\sqrt{3}i)^{n-1} \frac{5+3i}{2}$.

$P_nP_{n+1} = |z_{n+1} - z_n| = |\sqrt{3}i - 1| |(\sqrt{3}i)^{n-1}| |\frac{5+3i}{2}| = \sqrt{4} (\sqrt{3})^{n-1} \frac{\sqrt{34}}{2} = 2 (\sqrt{3})^{n-1} \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{3}^{n-1} \sqrt{34}$.

(3) $z_{n+2} - z_{n+1} = \sqrt{3}i (z_{n+1} - \frac{1-3i}{2}) - (\frac{1-3i}{2}) - (\sqrt{3}i(z_n - \frac{1-3i}{2})- \frac{1-3i}{2})$

$= \sqrt{3}i (z_{n+1} - z_n) = \sqrt{3} i ( \sqrt{3} i-1 ) w_n$.

$\theta = \arg(z_{n+2} - z_{n+1}) - \arg(z_{n+1} - z_n) = \arg(\sqrt{3}i(z_{n+1}-z_n)) - \arg(z_{n+1}-z_n) = \arg(\sqrt{3}i) = \frac{\pi}{2}$.

(4) $S = \frac{1}{2}|P_nP_{n+1}||P_{n+1}P_{n+2}|\sin\theta = \frac{1}{2}|z_{n+1}-z_n||z_{n+2}-z_{n+1}|\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}|\sqrt{3}iw_n-w_n| |\sqrt{3}i(\sqrt{3}iw_n-w_n)| = \frac{1}{2} |\sqrt{3}i-1| |w_n| |\sqrt{3}i| |\sqrt{3}i-1| |w_n| = \frac{1}{2} 2 (\sqrt{3})^{n-1} \frac{\sqrt{34}}{2} \cdot 2 (\sqrt{3})^{n} \frac{\sqrt{34}}{2} = \frac{1}{2} 4 \sqrt{3}^{2n-1} \frac{34}{4} = \sqrt{3}^{2n-1}\cdot \frac{17}{2} = \sqrt{3} (\sqrt{3})^{2(n-1)} 3 = (\sqrt{3})^{2n-1} \frac{17}{2}$.

$P_{n+1}P_{n+2} = |z_{n+2} - z_{n+1}| = |\sqrt{3}i(z_{n+1}-\frac{1-3i}{2})| = |\sqrt{3}iw_{n+1}| = | \sqrt{3}i \sqrt{3}iw_n | = 3 | w_n | = 3 \sqrt{\frac{34}{4}} \sqrt{3}^{n-1} = \sqrt{3}^{n+1} \sqrt{\frac{34}{4}}$

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n+1}-z_n| |z_{n+2}-z_{n+1}| \sin(\theta) = \frac{1}{2} (\sqrt{3}^{n-1}\sqrt{34}) (\sqrt{3}^{n}\sqrt{\frac{34}{4}}) \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\sqrt{3}^{n-1}) (\sqrt{3}^n) \sqrt{34} \frac{\sqrt{34}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3}^{2n-1} \cdot \frac{34}{2} = \sqrt{3}^{2n-1}\frac{17}{2}$.

3. 最終的な答え

$z_n = \frac{5+3i}{2}(\sqrt{3}i)^{n-1} + \frac{1-3i}{2}$

$P_nP_{n+1} = \sqrt{34}(\sqrt{3})^{n-1}$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$S = \frac{17}{2}\sqrt{3}^{2n-1}$