$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底の変換公式を用いて、$\log_{\frac{1}{3}} x$ を自然対数で表します。底の変換公式は以下の通りです。

$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

この公式を適用すると、

$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log x}{\log \frac{1}{3}}$

となります。

ここで、$\log \frac{1}{3} = \log 3^{-1} = -\log 3$ なので、

$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log x}{-\log 3} = -\frac{\log x}{\log 3}$

となります。

したがって、与えられた極限は

$\lim_{x \to +0} \log_{\frac{1}{3}} x = \lim_{x \to +0} -\frac{\log x}{\log 3}$

となります。

$x$ が正の方向から 0 に近づくとき、$\log x$ は $-\infty$ に発散します。

つまり、$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ です。

よって、

$\lim_{x \to +0} -\frac{\log x}{\log 3} = -\frac{-\infty}{\log 3} = \frac{\infty}{\log 3} = \infty$

となります。

3. 最終的な答え

$\infty$