関数 $f(x) = \frac{px+q}{x^2+3x}$ が $x=-\frac{1}{3}$ で極大値 $-9$ をとるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{px+q}{x^2+3x}$ が $x=-\frac{1}{3}$ で極大値 $-9$ をとるとき、$p$ と $q$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が $x = -\frac{1}{3}$ で極大値 $-9$ をとることから、次の2つの条件が成り立ちます。

* $f(-\frac{1}{3}) = -9$

* $f'(-\frac{1}{3}) = 0$

これらの条件から $p$ と $q$ を求めます。

まず、$f(-\frac{1}{3}) = -9$ を計算します。

$f(-\frac{1}{3}) = \frac{p(-\frac{1}{3})+q}{(-\frac{1}{3})^2+3(-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}p+q}{\frac{1}{9}-1} = \frac{-\frac{1}{3}p+q}{-\frac{8}{9}} = -9$

これを整理すると、

$-\frac{1}{3}p+q = -9 \times (-\frac{8}{9}) = 8$

$-p + 3q = 24$ ...(1)

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f(x) = \frac{px+q}{x^2+3x}$ より、

$f'(x) = \frac{p(x^2+3x)-(px+q)(2x+3)}{(x^2+3x)^2} = \frac{px^2+3px-(2px^2+3px+2xq+3q)}{(x^2+3x)^2} = \frac{-px^2-2qx-3q}{(x^2+3x)^2}$

次に、$f'(-\frac{1}{3}) = 0$ を計算します。

$f'(-\frac{1}{3}) = \frac{-p(-\frac{1}{3})^2-2q(-\frac{1}{3})-3q}{((-\frac{1}{3})^2+3(-\frac{1}{3}))^2} = \frac{-\frac{1}{9}p+\frac{2}{3}q-3q}{(\frac{1}{9}-1)^2} = \frac{-\frac{1}{9}p-\frac{7}{3}q}{\frac{64}{81}} = 0$

したがって、$-\frac{1}{9}p-\frac{7}{3}q = 0$

これを整理すると、

$-p-21q = 0$ ...(2)

$p = -21q$

(1)式に代入すると、

$-(-21q)+3q = 24$

$21q+3q = 24$

$24q = 24$

$q=1$

$p=-21q = -21(1)=-21$

3. 最終的な答え

$p = -21$, $q = 1$