関数 $f(x)$ が積分方程式 $f(x) = x^2 + 2 + \int_{-1}^{1} (x-t)f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が積分方程式 $f(x) = x^2 + 2 + \int_{-1}^{1} (x-t)f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$$f(x) = x^2 + 2 + x \int_{-1}^{1} f(t) dt - \int_{-1}^{1} tf(t) dt$$

ここで、$\int_{-1}^{1} f(t) dt$ と $\int_{-1}^{1} tf(t) dt$ は定数なので、それぞれ $A$ と $B$ とおきます。

$$A = \int_{-1}^{1} f(t) dt$$

$$B = \int_{-1}^{1} tf(t) dt$$

すると、$f(x)$ は次のように表せます。

$$f(x) = x^2 + 2 + Ax - B$$

これを $A$ と $B$ の定義式に代入します。

$$A = \int_{-1}^{1} (t^2 + 2 + At - B) dt$$

$$B = \int_{-1}^{1} t(t^2 + 2 + At - B) dt$$

まず、$A$ の式を計算します。

$$A = \left[\frac{t^3}{3} + 2t + \frac{At^2}{2} - Bt\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{3} + 2 + \frac{A}{2} - B\right) - \left(-\frac{1}{3} - 2 + \frac{A}{2} + B\right) = \frac{2}{3} + 4 - 2B$$

$$A = \frac{14}{3} - 2B$$

次に、$B$ の式を計算します。

$$B = \int_{-1}^{1} (t^3 + 2t + At^2 - Bt) dt = \left[\frac{t^4}{4} + t^2 + \frac{At^3}{3} - \frac{Bt^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{A}{3} - \frac{B}{2}\right) - \left(\frac{1}{4} + 1 - \frac{A}{3} - \frac{B}{2}\right) = \frac{2A}{3}$$

$$B = \frac{2A}{3}$$

$A = \frac{14}{3} - 2B$ と $B = \frac{2A}{3}$ を連立させて $A$ と $B$ を求めます。

$B = \frac{2}{3}(\frac{14}{3} - 2B)$

$B = \frac{28}{9} - \frac{4}{3}B$

$\frac{7}{3}B = \frac{28}{9}$

$B = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4}{3}$

$A = \frac{3}{2}B = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2$

したがって、$A=2$ と $B=\frac{4}{3}$ です。

$f(x) = x^2 + 2 + Ax - B$ に代入します。

$$f(x) = x^2 + 2 + 2x - \frac{4}{3} = x^2 + 2x + \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + 2x + \frac{2}{3}$