実数 $x$ に対して、$f(x) = \int_{0}^{x} (t^2 + t) dt$ とするとき、$f(x)$ の極大値と極小値の差を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$f(x) = \int_{0}^{x} (t^2 + t) dt$ とするとき、$f(x)$ の極大値と極小値の差を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を計算する。

$f(x) = \int_{0}^{x} (t^2 + t) dt = [\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_0^x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = x^2 + x = x(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x(x+1) = 0$ より、$x = 0, -1$

増減表を作成する。

$x<-1$ のとき、$f'(x) > 0$

$-1<x<0$ のとき、$f'(x) < 0$

$x>0$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x=-1$ で極大値、$x=0$ で極小値をとる。

極大値は $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

極小値は $f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 = 0$

極大値と極小値の差は $\frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$