2つの放物線 $C_1: y = 2x^2$ と $C_2: y = 2x^2 - 8x + 16$ の両方に接する直線 $l$ がある。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 2つの放物線 $C_1, C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = 2x^2$ と $C_2: y = 2x^2 - 8x + 16$ の両方に接する直線 $l$ がある。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 2つの放物線 $C_1, C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = mx + n$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するとき、$2x^2 = mx + n$ より、$2x^2 - mx - n = 0$。

この判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (-m)^2 - 4(2)(-n) = m^2 + 8n = 0$。よって、$n = -\frac{m^2}{8}$。

$C_2$ と $l$ が接するとき、$2x^2 - 8x + 16 = mx + n$ より、$2x^2 - (8+m)x + (16-n) = 0$。

この判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = (8+m)^2 - 4(2)(16-n) = 64 + 16m + m^2 - 128 + 8n = m^2 + 16m + 8n - 64 = 0$。

$n = -\frac{m^2}{8}$ を代入すると、$m^2 + 16m + 8(-\frac{m^2}{8}) - 64 = m^2 + 16m - m^2 - 64 = 16m - 64 = 0$。よって、$m = 4$。

$n = -\frac{4^2}{8} = -\frac{16}{8} = -2$。

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = 4x - 2$。

(2) $C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$2x^2 = 4x - 2$ より、$2x^2 - 4x + 2 = 0$。$x^2 - 2x + 1 = 0$。$(x-1)^2 = 0$。よって、$x = 1$。

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$2x^2 - 8x + 16 = 4x - 2$ より、$2x^2 - 12x + 18 = 0$。$x^2 - 6x + 9 = 0$。$(x-3)^2 = 0$。よって、$x = 3$。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_1^3 (4x - 2 - 2x^2) dx = [2x^2 - 2x - \frac{2}{3}x^3]_1^3 = (18 - 6 - 18) - (2 - 2 - \frac{2}{3}) = -6 + \frac{2}{3} = -\frac{16}{3}$

面積なので絶対値をとり、$S = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 2$

(2) $\frac{16}{3}$