与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

この極限は、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^{-0}}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x}))$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

よって、$\lim_{x \to \infty} x^2 (1 - \cos(\frac{1}{x})) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：$\frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

分母の微分：$\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{2t} = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を使いました。

あるいは、$1-\cos(t) = 2\sin^2(\frac{t}{2})$を使うと

$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2 (\frac{t}{2})}{t^2} = 2 \lim_{t \to 0} (\frac{\sin (\frac{t}{2})}{t})^2 = 2 \lim_{t \to 0} (\frac{\sin (\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} \frac{1}{2})^2 = 2(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{1}{2}$