$0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan(x+y) = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$ かつ $\tan x + \tan y = 1+\sqrt{3}$ を満たす $x, y$ を求める。

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$ のとき、

$\tan(x+y) = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$ かつ $\tan x + \tan y = 1+\sqrt{3}$ を満たす $x, y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(x+y)$ の値を計算する。

$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -2-\sqrt{3}$.

従って、

$\tan(x+y) = -2-\sqrt{3}$.

$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ であるから、

$\frac{1+\sqrt{3}}{1 - \tan x \tan y} = -2 - \sqrt{3}$.

$1 + \sqrt{3} = (-2-\sqrt{3})(1 - \tan x \tan y)$

$1 + \sqrt{3} = -2 - \sqrt{3} + (2+\sqrt{3}) \tan x \tan y$

$3 + 2\sqrt{3} = (2+\sqrt{3}) \tan x \tan y$

$\tan x \tan y = \frac{3+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(3+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{6-3\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6}{4-3} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

ここで、$\tan x + \tan y = 1+\sqrt{3}$ および $\tan x \tan y = \sqrt{3}$ であるから、$\tan x$ と $\tan y$ は $t^2 - (1+\sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$ の解である。

$t^2 - (1+\sqrt{3})t + \sqrt{3} = (t-1)(t-\sqrt{3}) = 0$.

よって、 $t = 1, \sqrt{3}$.

従って、$\tan x = 1$ かつ $\tan y = \sqrt{3}$ または $\tan x = \sqrt{3}$ かつ $\tan y = 1$.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ かつ $0 < y < \frac{\pi}{2}$ より、

$\tan x = 1$ のとき $x = \frac{\pi}{4}$ であり、$\tan y = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3}$.

$\tan x = \sqrt{3}$ のとき $x = \frac{\pi}{3}$ であり、$\tan y = 1$ のとき $y = \frac{\pi}{4}$.

したがって、$(x,y) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$.

3. 最終的な答え

$(x,y) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}), (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$