不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を計算する。

## 問題 9.2 (1) の解答

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$u = x - 4$ と置換する。このとき、$x = u + 4$ となり、$dx = du$。

これにより、積分は次のように書き換えられる。

$\int \frac{u+4+2}{u^3} du = \int \frac{u+6}{u^3} du$

さらに、積分を分割する。

$\int \frac{u}{u^3} du + \int \frac{6}{u^3} du = \int u^{-2} du + 6 \int u^{-3} du$

それぞれの積分を実行する。

$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C_1 = -\frac{1}{u} + C_1$

$6 \int u^{-3} du = 6 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C_2 = -3u^{-2} + C_2 = -\frac{3}{u^2} + C_2$

したがって、積分は

$-\frac{1}{u} - \frac{3}{u^2} + C$

ここで、$u = x - 4$ を代入して元に戻す。

$-\frac{1}{x-4} - \frac{3}{(x-4)^2} + C$

通分して整理する。

$\frac{-(x-4) - 3}{(x-4)^2} + C = \frac{-x + 4 - 3}{(x-4)^2} + C = \frac{-x+1}{(x-4)^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx = \frac{-x+1}{(x-4)^2} + C$

または

$\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx = \frac{1-x}{(x-4)^2} + C$