与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to +0} x^{\log(x+1)}$ を計算することです。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to +0} x^{\log(x+1)}$ を計算することです。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表します。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{\log(x+1)}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log (x^{\log(x+1)}) = \log(x+1) \cdot \log x$

次に、極限を計算します。

$\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} \log(x+1) \cdot \log x$

$x \to +0$ のとき、$\log(x+1) \to \log(1) = 0$ であり、$\log x \to -\infty$ です。したがって、$\lim_{x \to +0} \log(x+1) \cdot \log x$ は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形です。

この不定形を解消するために、$f(x) = \frac{\log(x+1)}{1/\log x}$ と書き換えます。

$x \to +0$ のとき、$\log(x+1) \to 0$ であり、$1/\log x \to 0$ であるので、$\frac{0}{0}$ の不定形になっています。

そこで、ロピタルの定理を使うために、この式を$f(x) = \frac{\log(x+1)}{1/\log x}$ の形にします。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log(x+1)}{1/\log x}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x+1}}{-\frac{1}{(\log x)^2}\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{-x (\log x)^2}{x+1}$

$x \to +0$ のとき、$x+1 \to 1$ です。したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{-x (\log x)^2}{x+1} = \lim_{x \to +0} -x (\log x)^2$

ここで、$\lim_{x \to +0} x (\log x)^2$ を計算します。

$t = 1/x$ とおくと、$x = 1/t$ であり、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ です。

$\lim_{x \to +0} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} (\log \frac{1}{t})^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} (-\log t)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{(\log t)^2}{t}$

再びロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to \infty} \frac{2 \log t \cdot \frac{1}{t}}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{2 \log t}{t}$

もう一度ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot \frac{1}{t}}{1} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} -x (\log x)^2 = -0 = 0$

$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ であるから、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x^{\log(x+1)} = 1$