関数 $z = f(x, y) = x^2 y^{-2}$ について、$(x, y) = (0.97, 1.04)$ のときの以下の値を求めます。 (1) $\Delta x$ (または $dx$) (2) $\Delta y$ (または $dy$) (3) $z$ の近似値

1. 問題の内容

関数 $z = f(x, y) = x^2 y^{-2}$ について、$(x, y) = (0.97, 1.04)$ のときの以下の値を求めます。

(1) $\Delta x$ (または $dx$)

(2) $\Delta y$ (または $dy$)

(3) $z$ の近似値

2. 解き方の手順

(1) $\Delta x$ (または $dx$) の計算

問題文より、$x = 0.97$ です。近似値を求めるために、基準となる $x_0$ を $x_0 = 1$ とします。

$\Delta x = dx = x - x_0 = 0.97 - 1 = -0.03$

(2) $\Delta y$ (または $dy$) の計算

問題文より、$y = 1.04$ です。近似値を求めるために、基準となる $y_0$ を $y_0 = 1$ とします。

$\Delta y = dy = y - y_0 = 1.04 - 1 = 0.04$

(3) $z$ の近似値の計算

まず、$f(x, y) = x^2 y^{-2} = \frac{x^2}{y^2}$ です。

$f(x_0, y_0) = f(1, 1) = \frac{1^2}{1^2} = 1$

次に、$f(x, y)$ の偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x^2}{y^3}$

$(x_0, y_0) = (1, 1)$ での偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = \frac{2(1)}{1^2} = 2$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = -\frac{2(1)^2}{1^3} = -2$

$z$ の近似値は次の式で求められます。

$z \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \Delta y$

$z \approx 1 + 2(-0.03) + (-2)(0.04) = 1 - 0.06 - 0.08 = 1 - 0.14 = 0.86$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta x = dx = -0.03$

(2) $\Delta y = dy = 0.04$

(3) $z$ の近似値 $= 0.86$