$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \arctan(t) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t}$

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1. 問題の内容

与えられた問題は、次の極限を求めることです。

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x})$

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2. 解き方の手順

この極限を求めるには、置換と$\arctan$関数のテイラー展開を利用します。

1. 置換: $t = \frac{1}{x}$ と置換します。すると、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \arctan(t) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t}$

2. $\arctan$関数のテイラー展開: $\arctan(t)$ の $t = 0$ 周りでのテイラー展開は次のようになります。

$\arctan(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \cdots$

3. 極限の計算: 上記のテイラー展開を代入して、極限を計算します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \cdots}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} (1 - \frac{t^2}{3} + \frac{t^4}{5} - \frac{t^6}{7} + \cdots)$

$t \to 0$ のとき、$t^2, t^4, t^6, \cdots$ はすべて 0 に収束するため、極限は 1 になります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = 1$

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3. 最終的な答え

したがって、与えられた極限は 1 です。

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = 1$