不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を計算します。

## 問題 9.2 (1)

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

変数変換 $u = x-4$ を行います。すると、$x = u+4$ となり、$dx = du$ となります。被積分関数は次のように書き換えられます。

$\frac{x+2}{(x-4)^3} = \frac{(u+4)+2}{u^3} = \frac{u+6}{u^3} = \frac{u}{u^3} + \frac{6}{u^3} = \frac{1}{u^2} + \frac{6}{u^3} = u^{-2} + 6u^{-3}$

したがって、積分は

$\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx = \int (u^{-2} + 6u^{-3}) du$

となります。積分を計算すると、

$\int (u^{-2} + 6u^{-3}) du = \int u^{-2} du + 6\int u^{-3} du = \frac{u^{-1}}{-1} + 6\frac{u^{-2}}{-2} + C = -u^{-1} - 3u^{-2} + C$

$= -\frac{1}{u} - \frac{3}{u^2} + C$

ここで、$u = x-4$ を代入すると、

$-\frac{1}{x-4} - \frac{3}{(x-4)^2} + C$

さらに整理すると、

$\frac{-(x-4) - 3}{(x-4)^2} + C = \frac{-x+4-3}{(x-4)^2} + C = \frac{-x+1}{(x-4)^2} + C = \frac{1-x}{(x-4)^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x+2}{(x-4)^3} dx = \frac{1-x}{(x-4)^2} + C$

## 問題 9.3 (1)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ を微分します。

2. 解き方の手順

$f(x) = (x^2 + 1)^{-1}$ と考え、合成関数の微分を用います。

$f'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

## 問題 9.3 (2)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ を微分します。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。

$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2+1) - x^2(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$