与えられた関数 $f(x)$ を微分する問題です。 (1) $f(x) = (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x - 4)$ (2) $f(x) = (2x + 3)(x + 3)^2$ (3) $f(x) = x\sqrt{x + 3}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を微分する問題です。

(1) $f(x) = (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x - 4)$

(2) $f(x) = (2x + 3)(x + 3)^2$

(3) $f(x) = x\sqrt{x + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (x^2 + 5x + 6)(x^2 + 5x - 4)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + 5x + 6$, $v = x^2 + 5x - 4$ とすると、

$u' = 2x + 5$, $v' = 2x + 5$

したがって、

$f'(x) = (2x + 5)(x^2 + 5x - 4) + (x^2 + 5x + 6)(2x + 5)$

$= (2x + 5)(x^2 + 5x - 4 + x^2 + 5x + 6)$

$= (2x + 5)(2x^2 + 10x + 2)$

$= 2(2x + 5)(x^2 + 5x + 1)$

$= 2(2x^3 + 10x^2 + 2x + 5x^2 + 25x + 5)$

$= 2(2x^3 + 15x^2 + 27x + 5)$

$= 4x^3 + 30x^2 + 54x + 10$

(2) $f(x) = (2x + 3)(x + 3)^2$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x + 3$, $v = (x + 3)^2$ とすると、

$u' = 2$, $v' = 2(x + 3)$

したがって、

$f'(x) = 2(x + 3)^2 + (2x + 3)(2(x + 3))$

$= 2(x + 3)(x + 3 + 2x + 3)$

$= 2(x + 3)(3x + 6)$

$= 2(x + 3)3(x + 2)$

$= 6(x + 3)(x + 2)$

$= 6(x^2 + 5x + 6)$

$= 6x^2 + 30x + 36$

(3) $f(x) = x\sqrt{x + 3}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$, $v = \sqrt{x + 3} = (x + 3)^{1/2}$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}(x + 3)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}$

したがって、

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x + 3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}$

$= \sqrt{x + 3} + \frac{x}{2\sqrt{x + 3}}$

$= \frac{2(x + 3) + x}{2\sqrt{x + 3}}$

$= \frac{2x + 6 + x}{2\sqrt{x + 3}}$

$= \frac{3x + 6}{2\sqrt{x + 3}}$

$= \frac{3(x + 2)}{2\sqrt{x + 3}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 4x^3 + 30x^2 + 54x + 10$

(2) $f'(x) = 6x^2 + 30x + 36$

(3) $f'(x) = \frac{3(x + 2)}{2\sqrt{x + 3}}$