与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos(2x) - 1}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos(2x) - 1}$

2. 解き方の手順

まず、$\cos(2x)$ を倍角の公式を使って展開します。

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$

したがって、

$\cos(2x) - 1 = -2\sin^2(x)$

与えられた極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos(2x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-2\sin^2(x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-2\sin^2(x)} = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} = \left(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)}\right)^2 = 1^2 = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-2\sin^2(x)} = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$