与えられた関数 $y = \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}}{x+1}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}}{x+1}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を対数微分法を用いて微分します。関数の両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left( \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}}{x+1} \right)$

対数の性質を用いて式を整理します。

$\ln y = \ln \sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)} - \ln (x+1)$

$\ln y = \frac{1}{3} \ln ((x-1)(x^2+1)) - \ln (x+1)$

$\ln y = \frac{1}{3} (\ln (x-1) + \ln (x^2+1)) - \ln (x+1)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{2x}{x^2+1} \right) - \frac{1}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{3(x-1)} + \frac{2x}{3(x^2+1)} - \frac{1}{x+1} \right)$

$y$ に元の関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}}{x+1} \left( \frac{1}{3(x-1)} + \frac{2x}{3(x^2+1)} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}}{x+1} \left( \frac{(x^2+1)(x+1) + 2x(x-1)(x+1) - 3(x-1)(x^2+1)}{3(x-1)(x^2+1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x+1)\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}^2} \frac{(x^2+1)(x+1) + 2x(x-1)(x+1) - 3(x-1)(x^2+1)}{3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3+x^2+x+1 + 2x(x^2-1)-3(x^3-x^2+x-1)}{3(x+1)\sqrt[3]{(x-1)(x^2+1)}^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3+x^2+x+1 + 2x^3-2x-3x^3+3x^2-3x+3}{3(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2(x^2+1)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^2-4x+4}{3(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2(x^2+1)^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4(x^2-x+1)}{3(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2(x^2+1)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4(x^2-x+1)}{3(x+1)\sqrt[3]{(x-1)^2(x^2+1)^2}}$