次の関数を微分せよ。 (1) $y = \sin(2x + 3)$ (2) $y = \cos(2 - 3x)$ (3) $y = \tan 2x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \sin(2x + 3)$

(2) $y = \cos(2 - 3x)$

(3) $y = \tan 2x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(2x + 3)$

合成関数の微分法を用いる。

$u = 2x + 3$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$

$y = \sin u$ なので、$\frac{dy}{du} = \cos u$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x + 3)$

(2) $y = \cos(2 - 3x)$

合成関数の微分法を用いる。

$u = 2 - 3x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -3$

$y = \cos u$ なので、$\frac{dy}{du} = -\sin u$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin u \cdot (-3) = 3\sin(2 - 3x)$

(3) $y = \tan 2x$

合成関数の微分法を用いる。

$u = 2x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$

$y = \tan u$ なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2 u}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 2x} = 2\sec^2 2x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x + 3)$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3\sin(2 - 3x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos^2 2x} = 2\sec^2 2x$