与えられた10個の関数を微分せよ。 (1) $y = e^{3x}$ (2) $y = xe^x$ (3) $y = e^x \cos x$ (4) $y = e^x \tan x$ (5) $y = e^{2x} \sin 3x$ (6) $y = e^{2x} \tan 3x$ (7) $y = \frac{e^x}{x^2}$ (8) $y = \frac{x}{e^x}$ (9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$ (10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

はい、承知いたしました。画像にある関数の微分を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数を微分せよ。

(1) $y = e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

(3) $y = e^x \cos x$

(4) $y = e^x \tan x$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

2. 解き方の手順

各関数に対して、適切な微分公式（合成関数の微分、積の微分、商の微分など）を用いて微分します。

(1) $y = e^{3x}$

合成関数の微分公式を使用します。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$.

$u = 3x$とすると、$y = e^u$.

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、$\frac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.

(2) $y = xe^x$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = x$, $v = e^x$とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$.

(3) $y = e^x \cos x$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = e^x$, $v = \cos x$とすると、$u' = e^x$, $v' = -\sin x$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$.

(4) $y = e^x \tan x$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = e^x$, $v = \tan x$とすると、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^x \tan x + e^x \frac{1}{\cos^2 x} = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$.

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = e^{2x}$, $v = \sin 3x$とすると、$u' = 2e^{2x}$, $v' = 3\cos 3x$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$.

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = e^{2x}$, $v = \tan 3x$とすると、$u' = 2e^{2x}$, $v' = \frac{3}{\cos^2 3x}$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} \frac{3}{\cos^2 3x} = e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$.

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

商の微分公式を使用します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$u = e^x$, $v = x^2$とすると、$u' = e^x$, $v' = 2x$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x x^2 - e^x 2x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$.

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

商の微分公式を使用します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$u = x$, $v = e^x$とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^x}$.

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = e^{-\frac{x}{3}}$

合成関数の微分公式を使用します。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$.

$u = -\frac{x}{3}$とすると、$y = e^u$.

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{3}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$.

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = x e^{-\frac{x}{2}}$

積の微分公式を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$.

$u = x$, $v = e^{-\frac{x}{2}}$とすると、$u' = 1$, $v' = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$.

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}(1 - \frac{x}{2}) = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3e^{3x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = (x+1)e^x$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $\frac{dy}{dx} = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{e^x}$

(9) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$