関数 $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を適用します。

$y = \sqrt{u}$ と $u = x^2 + 2x + 3$ とおきます。

$y$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$u$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 2x + 2$

合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2x + 2)$

$u = x^2 + 2x + 3$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

約分して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$