## 回答

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1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta d\theta$ を次の3通りの方法で計算する。

(a) $\cos^3 \theta = (\cos^2 \theta)(\sin \theta)'$ と考えて部分積分する。

(b) $\cos^3 \theta = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta = (\sin \theta - \frac{\sin^3 \theta}{3})'$ と考える。

(c) 三角関数の三倍角公式を使う。

(2) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$ を次の手順で計算する。

(a) 分母を $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ と平方完成する。

(b) $x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}u$ と置換積分で $\int \frac{du}{1 + u^2} = \arctan u$ に帰着させる。

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2. 解き方の手順

#### (1) (a) 部分積分

$\cos^3 \theta = \cos^2 \theta \cos \theta = \cos^2 \theta (\sin \theta)'$ と考え、部分積分を行う。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta (\sin \theta)' d\theta$

$= [\cos^2 \theta \sin \theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \theta (-\sin \theta) \sin \theta d\theta$

$= 0 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin^2 \theta d\theta$

$\sin \theta = t$ と置換すると、$dt = \cos \theta d\theta$ であり、$\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対応して $t: 0 \to 1$ であるから、

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin^2 \theta d\theta = 2 \int_{0}^{1} t^2 dt = 2 [\frac{t^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

#### (1) (b) 直接積分

$\cos^3 \theta = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta = (\sin \theta - \frac{\sin^3 \theta}{3})'$ と考え、積分を行う。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta d\theta$

$\sin \theta = t$ と置換すると、$dt = \cos \theta d\theta$ であり、$\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対応して $t: 0 \to 1$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta d\theta = \int_{0}^{1} (1 - t^2) dt = [t - \frac{t^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

#### (1) (c) 三倍角の公式

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ より、$\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos 3\theta + 3\cos \theta) d\theta$

$= \frac{1}{4} [\frac{1}{3}\sin 3\theta + 3\sin \theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{4} (\frac{1}{3}\sin \frac{3\pi}{2} + 3\sin \frac{\pi}{2} - 0) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{3} + 3) = \frac{1}{4}(\frac{8}{3}) = \frac{2}{3}$

#### (2) (a), (b)

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} u$ と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$ であり、$x: 0 \to 1$ に対応して $u: -\frac{1}{\sqrt{3}} \to \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2}u)^2 + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2} du$

$= \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{\frac{3}{4}u^2 + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2} du = \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{4}{3(u^2 + 1)} \frac{\sqrt{3}}{2} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{u^2 + 1} du$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} [\arctan u]_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})) = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}))$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{3}) = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

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3. 最終的な答え

(1) (a), (b), (c) いずれの方法でも: $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$