与えられた2階線形同次微分方程式 $5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$ を解く。ここで $y(x)$ は実数値関数である。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式

$5y'' + 4\sqrt{5}y' + 4y = 0$

を解く。ここで $y(x)$ は実数値関数である。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てる。微分方程式の解を $y = e^{rx}$ と仮定すると、$y' = re^{rx}$, $y'' = r^2e^{rx}$ となる。これらを微分方程式に代入すると、

$5r^2e^{rx} + 4\sqrt{5}re^{rx} + 4e^{rx} = 0$

$e^{rx}$ は 0 でないので、

$5r^2 + 4\sqrt{5}r + 4 = 0$

これが特性方程式である。

この2次方程式を解く。解の公式を用いると、

$r = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4(5)(4)}}{2(5)}$

$r = \frac{-4\sqrt{5} \pm \sqrt{80 - 80}}{10}$

$r = \frac{-4\sqrt{5}}{10} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって、重根 $r = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ を持つ。

重根の場合、微分方程式の一般解は

$y(x) = c_1e^{rx} + c_2xe^{rx}$

で与えられる。

したがって、この問題の一般解は

$y(x) = c_1e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2xe^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x} + c_2xe^{-\frac{2\sqrt{5}}{5}x}$

ここで、$c_1$と$c_2$は任意定数である。