次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin{x} - \cos{x}$ (2) $y = \sin{x} \tan{x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin{x} - \cos{x}$

(2) $y = \sin{x} \tan{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin{x} - \cos{x}$

$\sin{x}$ の微分は $\cos{x}$ であり、$\cos{x}$ の微分は $-\sin{x}$ です。

したがって、$y$ を $x$ で微分すると次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin{x} - \cos{x}) = \frac{d}{dx}\sin{x} - \frac{d}{dx}\cos{x} = \cos{x} - (-\sin{x}) = \cos{x} + \sin{x}$

(2) $y = \sin{x} \tan{x}$

積の微分公式を使います。積の微分公式は、2つの関数 $u$ と $v$ の積 $uv$ の微分が $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ で表されるというものです。

この問題では、$u = \sin{x}$、 $v = \tan{x}$ とします。

$\frac{du}{dx} = \cos{x}$ であり、$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ です。

したがって、$y$ を $x$ で微分すると次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin{x} \tan{x}) = \sin{x} \cdot \frac{d}{dx}\tan{x} + \tan{x} \cdot \frac{d}{dx}\sin{x} = \sin{x} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} + \tan{x} \cdot \cos{x}$

$= \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \cos{x} = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} + \sin{x} = \frac{\sin{x} + \sin{x} \cos^2{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin{x}(1 + \cos^2{x})}{\cos^2{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \cos{x} + \sin{x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin{x}(1 + \cos^2{x})}{\cos^2{x}}$

または

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} + \sin{x}$

または

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} + \tan{x}\cos{x}$

または

(2) $\frac{dy}{dx} = \sin{x} \sec^2{x} + \sin{x}$