与えられた関数を微分する問題です。具体的には、次の4つの関数について微分を求めます。 (1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ (3) $y = e^{x^2}$ (5) $y = \log(x^2 + 1)$ (7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、次の4つの関数について微分を求めます。

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$

(3) $y = e^{x^2}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 + x - 2$ とすると、$y = u^6$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5 (2x + 1)$

(3) $y = e^{x^2}$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = x^2$ とすると、$y = e^u$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 + 1$ とすると、$y = \log u$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(7) $y = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ の微分

$y = (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}$と変形できます。

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 + 1$ とすると、$y = u^{\frac{1}{3}}$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2x = \frac{2x}{3(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5 (2x + 1)$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$