与えられた積分を計算します。 $\int \frac{4x^3 + 3x^2 + 4x + 14}{(x-1)^2 (x^2+4x+5)} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{4x^3 + 3x^2 + 4x + 14}{(x-1)^2 (x^2+4x+5)} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{4x^3 + 3x^2 + 4x + 14}{(x-1)^2 (x^2+4x+5)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+4x+5}$

両辺に$(x-1)^2 (x^2+4x+5)$を掛けると

$4x^3 + 3x^2 + 4x + 14 = A(x-1)(x^2+4x+5) + B(x^2+4x+5) + (Cx+D)(x-1)^2$

$4x^3 + 3x^2 + 4x + 14 = A(x^3 + 3x^2 + x - 5) + B(x^2+4x+5) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$

$4x^3 + 3x^2 + 4x + 14 = A(x^3 + 3x^2 + x - 5) + B(x^2+4x+5) + C(x^3 - 2x^2 + x) + D(x^2 - 2x + 1)$

$4x^3 + 3x^2 + 4x + 14 = (A+C)x^3 + (3A+B-2C+D)x^2 + (A+4B+C-2D)x + (-5A+5B+D)$

係数を比較すると、

$x^3: A+C=4$

$x^2: 3A+B-2C+D=3$

$x: A+4B+C-2D=4$

定数項: $-5A+5B+D=14$

$x=1$を代入すると、$4+3+4+14 = B(1+4+5)$なので、$25 = 10B$, $B = \frac{5}{2}$

$A+C=4$より、$C=4-A$

$-5A+5B+D=14$より、$-5A + \frac{25}{2} + D = 14$, $D = 14+5A-\frac{25}{2} = 5A + \frac{3}{2}$

$3A+B-2C+D=3$に代入すると、$3A+\frac{5}{2}-2(4-A)+(5A+\frac{3}{2})=3$

$3A+\frac{5}{2}-8+2A+5A+\frac{3}{2}=3$

$10A + 4 - 8 = 3$, $10A = 7$, $A = \frac{7}{10}$

$C = 4-A = 4-\frac{7}{10} = \frac{33}{10}$

$D = 5A+\frac{3}{2} = 5 \cdot \frac{7}{10} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = 5$

よって、

$\frac{4x^3 + 3x^2 + 4x + 14}{(x-1)^2 (x^2+4x+5)} = \frac{7/10}{x-1} + \frac{5/2}{(x-1)^2} + \frac{(33/10)x+5}{x^2+4x+5}$

積分は

$\int (\frac{7/10}{x-1} + \frac{5/2}{(x-1)^2} + \frac{(33/10)x+5}{x^2+4x+5}) dx$

$= \frac{7}{10} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{5}{2} \int \frac{1}{(x-1)^2} dx + \int \frac{(33/10)x+5}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{7}{10} \ln|x-1| - \frac{5}{2(x-1)} + \int \frac{(33/10)x+5}{x^2+4x+5} dx$

$\int \frac{(33/10)x+5}{x^2+4x+5} dx = \frac{33}{20} \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx + \int \frac{(33/10)x+5 - (33/20)(2x+4)}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) + \int \frac{(33/10)x+5 - (33/10)x - (33/5)}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) + \int \frac{-33/5 + 25/5}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) + \int \frac{-8/5}{x^2+4x+5} dx$

$= \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) - \frac{8}{5} \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx$

$= \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) - \frac{8}{5} \arctan(x+2)$

よって、

$\frac{7}{10} \ln|x-1| - \frac{5}{2(x-1)} + \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) - \frac{8}{5} \arctan(x+2) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{10} \ln|x-1| - \frac{5}{2(x-1)} + \frac{33}{20} \ln(x^2+4x+5) - \frac{8}{5} \arctan(x+2) + C$