与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^4(3x)$ (2) $y = \tan^3(2x)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^4(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4(3x)$ の場合：

この関数は合成関数の形をしているので、連鎖律（チェインルール）を使います。連鎖律とは、$y = f(g(x))$のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$となるものです。

まず、$u = \sin(3x)$と置くと、$y = u^4$となります。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

次に、$v = 3x$と置くと、$u = \sin(v)$となります。

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$

さらに、$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 4u^3 \cdot \cos(v) \cdot 3 = 4\sin^3(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$ の場合：

これも合成関数の形をしているので、連鎖律を使います。

まず、$u = \tan(2x)$と置くと、$y = u^3$となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に、$v = 2x$と置くと、$u = \tan(v)$となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{\cos^2(v)} = \sec^2(v)$

さらに、$\frac{dv}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 3u^2 \cdot \sec^2(v) \cdot 2 = 3\tan^2(2x) \cdot \sec^2(2x) \cdot 2 = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$