与えられた定積分 $\int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$

両辺に $(x-1)^2(x-2)$ を掛けると

$1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$

$x=1$ のとき $1 = B(1-2) = -B$ よって $B = -1$.

$x=2$ のとき $1 = C(2-1)^2 = C$ よって $C = 1$.

$x=0$ のとき $1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(-1)^2 = 2A - 2B + C = 2A -2(-1) + 1 = 2A+3$.

よって $2A = -2$, $A = -1$.

したがって、

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2} = -\frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}$

積分すると、

$\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx = \int \left( -\frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2} \right) dx$

$= -\ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + \ln|x-2| + C = \ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + \frac{1}{x-1} + C$

したがって、

$\int_3^4 \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx = \left[ \ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + \frac{1}{x-1} \right]_3^4$

$= \left( \ln \left| \frac{4-2}{4-1} \right| + \frac{1}{4-1} \right) - \left( \ln \left| \frac{3-2}{3-1} \right| + \frac{1}{3-1} \right)$

$= \left( \ln \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right) - \left( \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)$

$= \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{2/3}{1/2} \right) - \frac{1}{6} = \ln \frac{4}{3} - \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{4}{3} - \frac{1}{6}$