与えられた関数を微分する問題です。ここでは、以下の２つの関数について微分を求めます。 (1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ (3) $y = e^{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ここでは、以下の２つの関数について微分を求めます。

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$

(3) $y = e^{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ の場合

これは合成関数の微分です。まず、$u = x^2 + x - 2$ とおくと、$y = u^6$となります。

連鎖律を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5 \cdot (2x + 1)$

(3) $y = e^{x^2}$ の場合

これも合成関数の微分です。$v = x^2$ とおくと、$y = e^v$となります。

連鎖律を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{dv} = e^v$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x^2 + x - 2)^6$ の微分:

$\frac{dy}{dx} = 6(x^2 + x - 2)^5(2x + 1)$

(3) $y = e^{x^2}$ の微分:

$\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$