与えられた三角関数の式を、$r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とする。具体的には、以下の4つの式を変形する。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ (2) $-\sin \theta + \cos \theta$ (3) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ (4) $\sqrt{6} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とする。具体的には、以下の4つの式を変形する。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$

(3) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

(4) $\sqrt{6} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を用いる。$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$ において、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$、$\sin \alpha = \frac{b}{r}$ である。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の場合：

$a = 1$、 $b = \sqrt{3}$。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$。

よって、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$。

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$ の場合：

$a = -1$、 $b = 1$。

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$。

よって、$-\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{3\pi}{4}\right)$。

(3) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の場合：

$a = 1$、 $b = -\sqrt{3}$。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$、$\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$。

よって、$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$。

(4) $\sqrt{6} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta$ の場合：

$\sqrt{2} \sin \theta + \sqrt{6} \cos \theta$として、$a = \sqrt{2}$、 $b = \sqrt{6}$。

$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$、$\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$。

よって、$\sqrt{6} \cos \theta + \sqrt{2} \sin \theta = 2\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$。

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$

(2) $\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{3\pi}{4}\right)$

(3) $2 \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$

(4) $2\sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$