$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} -0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} -0} (\frac{\pi}{2} - x) \tan x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を使って式を書き換えます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} -0} (\frac{\pi}{2} - x) \frac{\sin x}{\cos x}$

次に、$t = \frac{\pi}{2} - x$ と置換します。すると、$x = \frac{\pi}{2} - t$ となり、$x \to \frac{\pi}{2} -0$ のとき、$t \to +0$ となります。よって、

$\lim_{t \to +0} t \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos(\frac{\pi}{2} - t)}$

$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$、$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$ であるから、

$\lim_{t \to +0} t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to +0} \cos t \cdot \frac{t}{\sin t}$

$\lim_{t \to 0} \cos t = \cos 0 = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるから、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ です。したがって、

$\lim_{t \to +0} \cos t \cdot \frac{t}{\sin t} = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

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