問題文は「次の微分係数を定義に従って求めよ。」であり、以下の2つの問題を解く必要があります。 (1) $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数 (2) $f(x) = x^2$ の $x=-1$ における微分係数

1. 問題の内容

問題文は「次の微分係数を定義に従って求めよ。」であり、以下の2つの問題を解く必要があります。

(1) $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数

(2) $f(x) = x^2$ の $x=-1$ における微分係数

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ は次のように定義されます。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を求めます。

$f(2) = 2^2 = 4$

$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

(2) $f(x) = x^2$ の $x=-1$ における微分係数 $f'(-1)$ を求めます。

$f(-1) = (-1)^2 = 1$

$f(-1+h) = (-1+h)^2 = 1 - 2h + h^2$

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2 + h) = -2$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2$ の $x=2$ における微分係数は $4$ です。

(2) $f(x) = x^2$ の $x=-1$ における微分係数は $-2$ です。