放物線 $C: y = f(x) = x^2 - 2x + 4$ の $x > 0$ の部分に点 $P(t, t^2 - 2t + 4)$ をとる。点PにおけるCの接線を $l$ とする。 (1) $f'(x)$ と接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 接線 $l$ と y 軸との共有点が $y \ge 0$ の部分となる $t$ の範囲を求める。ただし、$t$ は正の実数とする。 (3) $t=7$ のとき、放物線 $C$, 接線 $l$, y軸で囲まれる部分の面積を求める。また、$t=4$ のとき、放物線 $C$, 接線 $l$, x軸, y軸のすべてで囲まれる部分の面積を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = f(x) = x^2 - 2x + 4$ の $x > 0$ の部分に点 $P(t, t^2 - 2t + 4)$ をとる。点PにおけるCの接線を $l$ とする。

(1) $f'(x)$ と接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 接線 $l$ と y 軸との共有点が $y \ge 0$ の部分となる $t$ の範囲を求める。ただし、$t$ は正の実数とする。

(3) $t=7$ のとき、放物線 $C$, 接線 $l$, y軸で囲まれる部分の面積を求める。また、$t=4$ のとき、放物線 $C$, 接線 $l$, x軸, y軸のすべてで囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 2x - 2$

次に、点Pにおける接線 $l$ の方程式を求める。

接線の傾きは $f'(t) = 2t - 2$ である。

接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2t + 4) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 4$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 4$

(2) 接線 $l$ と y軸との共有点は、$x=0$ のときであるから、

$y = -t^2 + 4$

これが $y \ge 0$ となる条件は、

$-t^2 + 4 \ge 0$

$t^2 \le 4$

$-2 \le t \le 2$

$t$ は正の実数なので、$0 < t \le 2$

(3) $t = 2$のとき、放物線 $C$, 接線 $l$, y軸で囲まれる部分の面積を求める。

$t = 2$ より、$f(x) = x^2 - 2x + 4$, $P(2, 4)$

$f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$

接線 $l$ の方程式は、$y = 2x$

放物線と直線の交点は、$x^2 - 2x + 4 = 2x$ より $x^2 - 4x + 4 = 0$, $(x - 2)^2 = 0$, $x = 2$

囲まれる面積は、$\int_0^2 (x^2 - 2x + 4 - 2x) dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$

$t=4$のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 4$, $P(4, 12)$

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$

接線 $l$ の方程式は、$y = 6x - 4^2 + 4 = 6x - 12$

放物線と直線の交点は、$x^2 - 2x + 4 = 6x - 12$ より $x^2 - 8x + 16 = 0$, $(x - 4)^2 = 0$, $x = 4$

接線が x軸と交わるのは $6x - 12 = 0$ より $x = 2$

囲まれる面積は、$\int_0^2 (x^2 - 2x + 4) dx + \int_2^4 (x^2 - 2x + 4 - (6x - 12)) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4x]_0^2 + \int_2^4 (x^2 - 8x + 16) dx = (\frac{8}{3} - 4 + 8) + [\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x]_2^4 = \frac{20}{3} + (\frac{64}{3} - 64 + 64 - (\frac{8}{3} - 16 + 32)) = \frac{20}{3} + \frac{56}{3} - 16 = \frac{76}{3} - \frac{48}{3} = \frac{28}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2x - 2$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 4$

(2) $0 < t \le 2$

(3) $t=2$のとき $\frac{8}{3}$

$t=4$のとき $\frac{28}{3}$