関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分しなさい。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法を用いて微分しなさい。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

対数微分法は、まず両辺の自然対数をとり、その後で微分するという手順で進めます。

ステップ1：両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^{3x})$

ステップ2：対数の性質を使って右辺を簡単にします。$\ln(a^b) = b \ln a$ を用います。

$\ln y = 3x \ln x$

ステップ3：両辺を $x$ で微分します。左辺は $\ln y$ の微分なので、合成関数の微分を行います。右辺は積の微分を行います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x}$

ステップ4：右辺を整理します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3$

ステップ5：$\frac{dy}{dx}$ について解きます。両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{dy}{dx} = y (3 \ln x + 3)$

ステップ6：$y = x^{3x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3 \ln x + 3)$

ステップ7：3を括りだします。

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$