問題は、以下の関数について、導関数を定義に従って求めることです。 (1) $f(x) = x$ (2) $f(x) = 3x + 2$ (4) $f(x) = 3(x-1)^2$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、以下の関数について、導関数を定義に従って求めることです。

(1) $f(x) = x$

(2) $f(x) = 3x + 2$

(4) $f(x) = 3(x-1)^2$

2. 解き方の手順

導関数の定義は、次の式で与えられます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = x$の場合:

$f(x+h) = x + h$なので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$

(2) $f(x) = 3x + 2$の場合:

$f(x+h) = 3(x+h) + 2 = 3x + 3h + 2$なので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(3x + 3h + 2) - (3x + 2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0} 3 = 3$

(4) $f(x) = 3(x-1)^2$の場合:

$f(x+h) = 3((x+h)-1)^2 = 3(x+h-1)^2 = 3(x^2 + h^2 + 1 + 2xh - 2x - 2h)$

$= 3(x^2+2xh-2x + h^2-2h+1)$

$=3x^2+6xh-6x +3h^2-6h+3$

$f(x) = 3(x^2-2x+1)= 3x^2-6x+3$

$f(x+h) - f(x) = 3x^2+6xh-6x +3h^2-6h+3 - (3x^2-6x+3)$

$= 6xh +3h^2 - 6h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{6xh + 3h^2 - 6h}{h} = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 6) = 6x - 6$

$f'(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 1$

(2) $f'(x) = 3$

(4) $f'(x) = 6x - 6$