関数 $f(x,y)$ が次のように定義されています。 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x,y) \neq (0,0) \\ c & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ このとき、以下の問いに答えます。 (1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が次のように定義されています。

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x,y) \neq (0,0) \\ c & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

偏微分の定義より、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(h,0) = \frac{2h^3 \cdot 0 - 3h \cdot 0^3}{h^2 + 0^2} + h \cdot 0^3 = 0$

$f(0,k) = \frac{2 \cdot 0^3 \cdot k - 3 \cdot 0 \cdot k^3}{0^2 + k^2} + 0 \cdot k^3 = 0$

$f(0,0) = 0$

よって、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(h,0) = 0$

$f(0,k) = 0$

$f(0,0) = 1$

よって、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{1}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 1}{k} = \lim_{k \to 0} -\frac{1}{k}$

これらの極限は存在しません。

(3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

まず、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ のとき、$f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ を求めます。

$f(x,y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3$

$f_x(x,y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

$f_x(x,y) = \frac{6x^4y+6x^2y^3-3x^2y^3-3y^5 - 4x^4y+6x^2y^3}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

$f_x(x,y) = \frac{2x^4y+9x^2y^3-3y^5}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

$f_y(x,y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_y(x,y) = \frac{2x^5+2x^3y^2 - 9x^3y^2-9xy^4 - 4x^3y^2+6xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_y(x,y) = \frac{2x^5 - 11x^3y^2 - 3xy^4}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k) - f_x(0,0)}{k}$

$f_x(0,k) = \frac{2\cdot 0^4 \cdot k + 9 \cdot 0^2 \cdot k^3 - 3k^5}{(0^2+k^2)^2} + k^3 = \frac{-3k^5}{k^4} + k^3 = -3k + k^3$

$f_x(0,0) = 0$

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{-3k+k^3 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} -3 + k^2 = -3$

$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0) - f_y(0,0)}{h}$

$f_y(h,0) = \frac{2h^5 - 11h^3 \cdot 0^2 - 3h \cdot 0^4}{(h^2+0^2)^2} + 3h \cdot 0^2 = \frac{2h^5}{h^4} = 2h$

$f_y(0,0) = 0$

$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0) = 0$、$f_y(0,0) = 0$

(2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ は存在しない。

(3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0) = -3$、$f_{yx}(0,0) = 2$