問題5は、次の微分方程式の一般解を求める問題です。変数分離法を利用します。 (1) $y' = y$ (3) $e^{x+y} dx + dy = 0$ (5) $y' = \frac{1}{x}$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。今回は、問題5の(1)、(3)、(5)を解きます。

1. 問題の内容

問題5は、次の微分方程式の一般解を求める問題です。変数分離法を利用します。

(1) $y' = y$

(3) $e^{x+y} dx + dy = 0$

(5) $y' = \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y' = y$ の場合:

$y' = \frac{dy}{dx}$なので、$\frac{dy}{dx} = y$と書き換えます。

両辺をyで割り、$dx$を右辺にかけると、

$\frac{dy}{y} = dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int dx$

$\ln|y| = x + C$ (Cは積分定数)

両辺を指数関数で処理すると、

$|y| = e^{x+C} = e^x e^C$

$y = \pm e^C e^x$

$A = \pm e^C$とおくと(Aは任意定数)、

$y = A e^x$

(3) $e^{x+y} dx + dy = 0$ の場合:

$dy = -e^{x+y} dx = -e^x e^y dx$

両辺を$e^y$で割り、$dx$を右辺で割ると、

$\frac{dy}{e^y} = -e^x dx$

$e^{-y} dy = -e^x dx$

両辺を積分すると、

$\int e^{-y} dy = \int -e^x dx$

$-e^{-y} = -e^x + C$ (Cは積分定数)

$e^{-y} = e^x - C$

$-y = \ln(e^x - C)$

$y = -\ln(e^x - C)$

(5) $y' = \frac{1}{x}$ の場合:

$y' = \frac{dy}{dx}$なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$と書き換えます。

$dy = \frac{1}{x} dx$

両辺を積分すると、

$\int dy = \int \frac{1}{x} dx$

$y = \ln|x| + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $y = A e^x$ (Aは任意定数)

(3) $y = -\ln(e^x - C)$ (Cは積分定数)

(5) $y = \ln|x| + C$ (Cは積分定数)