与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = (x + y + 1)^2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = (x + y + 1)^2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $u = x + y + 1$ と変数変換します。すると、$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ となります。

(2) 与えられた微分方程式を $\frac{dy}{dx}$ について解くと、$\frac{dy}{dx} = u^2$ となります。

(3) ステップ (1) で求めた式から $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$ となるので、ステップ (2) の結果と合わせて、$\frac{du}{dx} - 1 = u^2$ となります。

(4) これを整理すると、$\frac{du}{dx} = u^2 + 1$ となります。

(5) 両辺を $u^2 + 1$ で割り、$dx$ をかけると、$\frac{du}{u^2 + 1} = dx$ となります。

(6) 両辺を積分すると、$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \int dx$ となります。

(7) 左辺の積分は $\arctan(u)$ なので、$\arctan(u) = x + C$ となります（$C$は積分定数）。

(8) 両辺の $\tan$ をとると、$u = \tan(x + C)$ となります。

(9) $u = x + y + 1$ を代入すると、$x + y + 1 = \tan(x + C)$ となります。

(10) $y$ について解くと、$y = \tan(x + C) - x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \tan(x + C) - x - 1$