与えられた4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} 4x^3 dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ (3) $\int_{1}^{2} (4x - 8x^3) dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} 4x^3 dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

(3) $\int_{1}^{2} (4x - 8x^3) dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} 4x^3 dx$ を計算します。

$4x^3$ の不定積分は $x^4$ です。

したがって、

$\int_{0}^{1} 4x^3 dx = [x^4]_{0}^{1} = (1^4) - (0^4) = 1 - 0 = 1$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ を計算します。

$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

(3) $\int_{1}^{2} (4x - 8x^3) dx$ を計算します。

$4x - 8x^3$ の不定積分は $2x^2 - 2x^4$ です。

したがって、

$\int_{1}^{2} (4x - 8x^3) dx = [2x^2 - 2x^4]_{1}^{2} = (2(2^2) - 2(2^4)) - (2(1^2) - 2(1^4)) = (8 - 32) - (2 - 2) = -24 - 0 = -24$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx$ を計算します。

$\sin x$ の不定積分は $-\cos x$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} - (-\cos 0) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) -24

(4) $\frac{1}{2}$