与えられた定積分の値を計算します。 与えられた式は $\int_0^2 x^2 dx + \int_2^4 (x^2 - 8x + 16) dx$ であり、これは $\int_0^2 x^2 dx + \int_2^4 (x-4)^2 dx$ と等しいです。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。

与えられた式は

$\int_0^2 x^2 dx + \int_2^4 (x^2 - 8x + 16) dx$

であり、これは

$\int_0^2 x^2 dx + \int_2^4 (x-4)^2 dx$

と等しいです。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

$\int (x-4)^2 dx = \int (x^2 - 8x + 16) dx = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x + C$

最初の積分を計算します。

$\int_0^2 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

次に、2番目の積分を計算します。

$\int_2^4 (x-4)^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_2^4$

$= \left(\frac{4^3}{3} - 4(4^2) + 16(4) \right) - \left(\frac{2^3}{3} - 4(2^2) + 16(2) \right)$

$= \left(\frac{64}{3} - 64 + 64 \right) - \left(\frac{8}{3} - 16 + 32 \right)$

$= \frac{64}{3} - \frac{8}{3} - 16$

$= \frac{56}{3} - \frac{48}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、与えられた積分の合計は

$\int_0^2 x^2 dx + \int_2^4 (x-4)^2 dx = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$