$a > 0$とする。放物線 $y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$軸で囲まれる部分の面積が100のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$とする。放物線 $y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$軸で囲まれる部分の面積が100のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = 0$ とおくと、

$x^2 - 4ax + 3a^2 = 0$

$(x - a)(x - 3a) = 0$

$x = a, 3a$

したがって、放物線と $x$軸との交点は $(a, 0)$ と $(3a, 0)$ である。

次に、放物線と $x$軸で囲まれる部分の面積 $S$ を求める。

$S = -\int_a^{3a} (x^2 - 4ax + 3a^2) dx$

$S = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 3a^2x \right]_a^{3a}$

$S = -\left[ (\frac{1}{3}(3a)^3 - 2a(3a)^2 + 3a^2(3a)) - (\frac{1}{3}a^3 - 2a(a)^2 + 3a^2(a)) \right]$

$S = -\left[ (9a^3 - 18a^3 + 9a^3) - (\frac{1}{3}a^3 - 2a^3 + 3a^3) \right]$

$S = -\left[ 0 - \frac{4}{3}a^3 \right]$

$S = \frac{4}{3}a^3$

問題文より、$S = 100$ なので、

$\frac{4}{3}a^3 = 100$

$a^3 = \frac{3}{4} \times 100$

$a^3 = 75$

$a = \sqrt[3]{75}$

$a = \sqrt[3]{25 \times 3}$

$a = 5^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt[3]{75}$