与えられた積分 $\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 1 - x^2$ と置換します。

すると、$du = -2x dx$ となり、$x^2 = 1 - u$ です。

積分は次のようになります。

$\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx = \int x^2 \sqrt{1-x^2} x dx = \int (1-u) \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int (1-u) u^{1/2} du$

これを展開すると、

$-\frac{1}{2} \int (u^{1/2} - u^{3/2}) du = -\frac{1}{2} (\int u^{1/2} du - \int u^{3/2} du)$

それぞれの積分を計算します。

$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C_1$

$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5} u^{5/2} + C_2$

したがって、

$-\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2}) + C = -\frac{1}{3} u^{3/2} + \frac{1}{5} u^{5/2} + C$

$u = 1 - x^2$ を代入して、

$-\frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} + \frac{1}{5} (1-x^2)^{5/2} + C$

さらに整理します。

$(1-x^2)^{3/2} (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}(1-x^2)) + C = (1-x^2)^{3/2} (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} x^2) + C = (1-x^2)^{3/2} (-\frac{2}{15} - \frac{1}{5} x^2) + C = -\frac{1}{15} (1-x^2)^{3/2} (2+3x^2) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{15}(3x^2+2)(1-x^2)^{3/2} + C$