次の不定積分を求めます。 (1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$ (2) $\int \log x \, dx$ (3) $\int (4x+1)^5 \, dx$ (4) $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$ (5) $\int x \sin x \, dx$ (6) $\int (2x-5)(2x+3)^4 \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$

(2) $\int \log x \, dx$

(3) $\int (4x+1)^5 \, dx$

(4) $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$

(5) $\int x \sin x \, dx$

(6) $\int (2x-5)(2x+3)^4 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$ となります。よって、

$\int \sin^2 x \cos x \, dx = \int u^2 \, du = \frac{1}{3} u^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(2) $\int \log x \, dx$

部分積分を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

(3) $\int (4x+1)^5 \, dx$

$u = 4x+1$ と置換すると、$du = 4 \, dx$ となります。よって、$dx = \frac{1}{4} du$

$\int (4x+1)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{1}{4} \int u^5 \, du = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^6 + C = \frac{1}{24} (4x+1)^6 + C$

(4) $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x \, dx$ となります。よって、$x \, dx = \frac{1}{2} du$

$\int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \log |u| + C = \frac{1}{2} \log (x^2+1) + C$

(5) $\int x \sin x \, dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(6) $\int (2x-5)(2x+3)^4 \, dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2 \, dx$ となります。よって、$dx = \frac{1}{2} du$

また、$2x = u-3$ より、$2x-5 = u-3-5 = u-8$

$\int (2x-5)(2x+3)^4 \, dx = \int (u-8)u^4 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int (u^5 - 8u^4) \, du = \frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^6 - \frac{8}{5} u^5) + C = \frac{1}{12} u^6 - \frac{4}{5} u^5 + C = \frac{1}{12} (2x+3)^6 - \frac{4}{5} (2x+3)^5 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} \sin^3 x + C$

(2) $x \log x - x + C$

(3) $\frac{1}{24} (4x+1)^6 + C$

(4) $\frac{1}{2} \log (x^2+1) + C$

(5) $-x \cos x + \sin x + C$

(6) $\frac{1}{12} (2x+3)^6 - \frac{4}{5} (2x+3)^5 + C$