与えられた積分 $\int \frac{\cos x \log(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\cos x \log(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分法を用いることを考えます。

$u = \log(1+\sin x)$ と $dv = \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$ とおきます。

$du = \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ となり、

$v = \int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$ を計算します。

$t = 1+\sin x$ とおくと、$dt = \cos x dx$ より、

$v = \int \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{1+\sin x}$ となります。

部分積分法より、

$\int u dv = uv - \int v du$ なので、

$\int \frac{\cos x \log(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} dx = \log(1+\sin x) \cdot \left( -\frac{1}{1+\sin x} \right) - \int \left( -\frac{1}{1+\sin x} \right) \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

$= -\frac{\log(1+\sin x)}{1+\sin x} + \int \frac{\cos x}{(1+\sin x)^2} dx$

$= -\frac{\log(1+\sin x)}{1+\sin x} - \frac{1}{1+\sin x} + C$

$= -\frac{\log(1+\sin x) + 1}{1+\sin x} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\log(1+\sin x) + 1}{1+\sin x} + C$

あるいは

$-\frac{\log(1+\sin x)}{1+\sin x} - \frac{1}{1+\sin x} + C$