関数 $f(x) = x^2$、 $g(x) = 2x + 1$が与えられたとき、合成関数 $f(g(x))$ を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

問題１：

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$、 $g(x) = 2x + 1$が与えられたとき、合成関数 $f(g(x))$ を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

合成関数 $f(g(x))$ は、$f$ の $x$ に $g(x)$ を代入することで求められます。

つまり、$f(g(x)) = (g(x))^2$ です。

$g(x) = 2x + 1$ を代入すると、

$f(g(x)) = (2x + 1)^2$

となります。

これを展開すると、

$f(g(x)) = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

選択肢を確認すると、(2) $(2x+1)^2$ と (4) $4x^2 + 1$ が候補として挙げられますが、展開前の形 $(2x+1)^2$ の方がより直接的な答えであるため、(2)がより適切です。

しかし、問題文の選択肢(4)は$4x^2+4x+1$ではなく、$4x^2+1$となっているため、正しい答えではありません。

そのため、問題文の選択肢の中に厳密に正しい答えはありません。

3. 最終的な答え

厳密に正しい答えは $4x^2 + 4x + 1$ ですが、選択肢の中では(2) $(2x+1)^2$ が最も近いと言えます。

問題２：

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + x + 1)^{-3}$ の導関数 $y'$ を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。合成関数の微分法を用いるように指示されています。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いると、$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ のように計算できます。

ここで、$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = u^{-3}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

よって、

$y' = -3u^{-4} \cdot (2x + 1) = -3(2x + 1)(x^2 + x + 1)^{-4}$

3. 最終的な答え

$y' = -3(2x + 1)(x^2 + x + 1)^{-4}$

したがって、選択肢(2)が正しいです。